Условие
Даны векторы a и b, для которых |a|=3√2, |b|=5 и |a+b|=√13. Найдите угол между векторами a и b. Ответ дайте в градусах.
Подсказка
Возведите в квадрат длину суммы и выразите из полученного равенства a·b.
Косинус угла между векторами равен a·b, делённому на произведение длин.
Показать ответ
135
Пошаговое решение
- Связываем длину суммы со скалярным произведением
|a+b|²=|a|²+2a·b+|b|². Здесь известны все длины, неизвестно только a·b — из этого равенства его и найдём.
- Находим a·b
|a|²=(3√2)²=9·2=18, |b|²=25, |a+b|²=13. Получаем 13=18+2a·b+25, 2a·b=13−43=−30, a·b=−15.
- Находим косинус угла
cos φ=(a·b)/(|a|·|b|)=(−15)/(3√2·5)=−15/(15√2)=−1/√2=−√2/2.
- Определяем угол
Косинус отрицателен, значит, угол тупой. Угол от 0° до 180° с косинусом −√2/2 равен 180°−45°=135°. Типичная ошибка — ответить 45°, забыв про знак косинуса.
Ответ: 135