Условие
Векторы a и b таковы, что |a|=6, |b|=2, а угол между ними равен 120°. При каком значении k векторы a+k·b и a−b перпендикулярны?
Подсказка
Перпендикулярность векторов означает, что их скалярное произведение равно нулю.
Раскройте скобки и соберите слагаемые с k — получится линейное уравнение.
Показать ответ
4,2
Пошаговое решение
- Записываем условие перпендикулярности
Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: (a+k·b)·(a−b)=0.
- Раскрываем скобки
(a+k·b)·(a−b)=a·a−a·b+k·(b·a)−k·(b·b)=|a|²−a·b+k·(a·b−|b|²).
- Находим числа
a·b=6·2·cos 120°=6·2·(−1/2)=−6; |a|²=36; |b|²=4. Тогда |a|²−a·b=36−(−6)=42, a·b−|b|²=−6−4=−10.
- Решаем линейное уравнение
42+k·(−10)=0, 10k=42, k=42/10=4,2. При этом a−b≠0 (длины векторов разные), так что условие имеет смысл.
Ответ: 4,2