Условие
Треугольник ABC равносторонний, его сторона равна 6. Найдите скалярное произведение векторов AB и AC.
Подсказка
a·b=|a|·|b|·cos φ, где φ — угол между векторами.
Векторы AB и AC выходят из одной точки: угол между ними — угол треугольника при вершине A.
Показать ответ
18
Пошаговое решение
- Вспоминаем определение скалярного произведения
Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними: a·b=|a|·|b|·cos φ. Значит, нужны две длины и угол.
- Находим угол между векторами
Оба вектора AB и AC начинаются в одной точке A. Когда векторы отложены от общей точки, угол между ними — это обычный угол между лучами, здесь угол BAC. В равностороннем треугольнике все углы по 60°, поэтому φ=60°, cos 60°=½.
- Находим длины
Длина вектора — длина отрезка: |AB|=AB=6, |AC|=AC=6 (все стороны равны 6).
- Считаем
AB·AC=6·6·cos 60°=36·½=18. Типичная ошибка — взять векторы AB и BC: они выходят из разных точек, угол между ними 120°, и их скалярное произведение равно −18.
Ответ: 18