Условие
Единичные векторы e₁ и e₂ образуют угол 60°. Найдите косинус угла между векторами p=e₁+e₂ и q=e₁−2e₂.
Подсказка
Для единичных векторов e₁·e₁=1, а e₁·e₂ равно косинусу угла между ними.
Найдите отдельно p·q, |p| и |q|, раскрывая скобки.
Показать ответ
-0,5
Пошаговое решение
- Используем, что векторы единичные
|e₁|=|e₂|=1, поэтому e₁·e₁=e₂·e₂=1, а e₁·e₂=1·1·cos 60°=1/2.
- Находим скалярное произведение p·q
(e₁+e₂)·(e₁−2e₂)=e₁·e₁−2e₁·e₂+e₂·e₁−2e₂·e₂=1−e₁·e₂−2=−1−1/2=−1,5.
- Находим длины p и q
|p|²=e₁·e₁+2e₁·e₂+e₂·e₂=1+1+1=3, |p|=√3. |q|²=e₁·e₁−4e₁·e₂+4e₂·e₂=1−2+4=3, |q|=√3.
- Вычисляем косинус
cos φ=(p·q)/(|p|·|q|)=(−1,5)/(√3·√3)=(−1,5)/3=−0,5. Значит, векторы p и q образуют угол 120°.
Ответ: -0,5