Условие
Векторы a, b и c в сумме дают нулевой вектор: a+b+c=0. Длины векторов: |a|=5, |b|=6, |c|=4. Найдите скалярное произведение a·b.
Подсказка
Выразите c через a и b из равенства a+b+c=0.
Возведите в квадрат длину вектора c и раскройте скалярный квадрат суммы.
Показать ответ
-22,5
Пошаговое решение
- Выражаем c через a и b
Из a+b+c=0 следует c=−(a+b). Длина противоположного вектора та же, поэтому |c|=|a+b|.
- Возводим в квадрат
|c|²=|a+b|²=|a|²+2a·b+|b|². Здесь все длины известны, неизвестно только a·b.
- Находим a·b
4²=5²+2a·b+6², 16=61+2a·b, 2a·b=16−61=−45, a·b=−22,5.
- Проверяем смысл знака
Векторы, отложенные один за другим, образуют треугольник со сторонами 5, 6, 4. Угол треугольника между сторонами 5 и 6 лежит против наименьшей стороны 4, поэтому он острый. Угол между векторами a и b смежен с ним, значит, тупой, и a·b<0 — так и получилось.
Ответ: -22,5