Условие
Длины векторов a и b равны 4 и 8, угол между векторами a и b равен 120°. Найдите угол между векторами a и a+b. Ответ дайте в градусах.
Подсказка
Косинус искомого угла равен a·(a+b), делённому на произведение длин.
Посчитайте сначала a·(a+b) — результат может сразу подсказать угол.
Показать ответ
90
Пошаговое решение
- Вспоминаем, как находить угол
Угол ψ между векторами a и a+b найдём через косинус: cos ψ=(a·(a+b))/(|a|·|a+b|). Начнём с числителя.
- Находим a·b
a·b=|a|·|b|·cos 120°=4·8·(−1/2)=−16.
- Находим a·(a+b)
a·(a+b)=|a|²+a·b=16+(−16)=0.
- Делаем вывод
Скалярное произведение равно нулю, а оба вектора ненулевые (|a+b|²=16+2·(−16)+64=48≠0). Значит, cos ψ=0 и векторы перпендикулярны: ψ=90°. Саму длину |a+b|=√48 для ответа знать не нужно.
Ответ: 90