Условие
Угол между векторами a и b равен 60°, |b|=6, а скалярное произведение a·(a+b) равно 40. Найдите длину вектора a.
Подсказка
Обозначьте длину вектора a через x и раскройте скобки в a·(a+b).
Получится квадратное уравнение; помните, что длина положительна.
Показать ответ
5
Пошаговое решение
- Вводим неизвестное
Обозначим |a|=x, где x>0. Раскроем скобки: a·(a+b)=a·a+a·b=|a|²+a·b.
- Выражаем a·b через x
a·b=|a|·|b|·cos 60°=x·6·(1/2)=3x.
- Составляем уравнение
x²+3x=40, то есть x²+3x−40=0. Дискриминант: 3²+4·40=169=13².
- Выбираем подходящий корень
x=(−3±13)/2, корни 5 и −8. Длина вектора не может быть отрицательной, поэтому |a|=5. Проверка: 5²+3·5=25+15=40.
Ответ: 5