Условие
Про векторы a и b известно только, что длина их суммы равна 6: |a+b|=6. Какое наибольшее значение может принимать скалярное произведение a·b?
Подсказка
Выразите a·b через |a+b|² и |a−b|²: вычтите одну формулу квадрата длины из другой.
Какое наименьшее значение может принимать |a−b|²?
Показать ответ
9
Пошаговое решение
- Связываем a·b с суммой и разностью
|a+b|²=|a|²+2a·b+|b|², |a−b|²=|a|²−2a·b+|b|². Вычтем из первого равенства второе: |a+b|²−|a−b|²=4a·b, то есть a·b=(|a+b|²−|a−b|²)/4.
- Подставляем известную длину
a·b=(6²−|a−b|²)/4=(36−|a−b|²)/4. Длина суммы фиксирована, а |a−b| может меняться.
- Находим наибольшее значение
Величина |a−b|² неотрицательна, поэтому a·b≤36/4=9. Равенство достигается, когда a−b=0, то есть a=b.
- Проверяем, что значение достигается
Если a=b и |a+b|=|2a|=6, то |a|=3, и a·b=|a|²=3²=9. Значит, наибольшее значение действительно достигается.
Ответ: 9