Условие
Сторона квадрата ABCD равна 4. Найдите скалярное произведение векторов AB и CA.
Подсказка
Чтобы увидеть угол между векторами, отложите их от одной точки.
Вектор CA направлен противоположно вектору AC; угол между AB и AC равен 45°.
Показать ответ
-16
Пошаговое решение
- Откладываем векторы от одной точки
Угол между векторами измеряют, когда они отложены от общей точки. Вектор AB начинается в A, а CA — в C. Отложим от точки A вектор, равный CA: он направлен противоположно вектору AC, то есть по продолжению диагонали CA за точку A.
- Находим угол между векторами
Диагональ квадрата делит прямой угол пополам, поэтому угол между AB и AC равен 45°. Вектор CA противоположен AC, значит, угол между AB и CA равен 180°−45°=135° — он тупой, и произведение будет отрицательным.
- Находим длины
|AB|=4. Диагональ квадрата со стороной 4 равна 4√2, поэтому |CA|=4√2. cos 135°=−√2/2.
- Считаем скалярное произведение
AB·CA=4·4√2·(−√2/2)=−16·(√2·√2)/2=−16·2/2=−16.
- Проверяем через разложение
CA=CB+BA. Тогда AB·CA=AB·CB+AB·BA. Векторы AB и CB перпендикулярны, первое слагаемое 0. Вектор BA противоположен AB: AB·BA=−|AB|²=−16. Итого −16. Типичная ошибка — взять угол 45° и получить 16.
Ответ: -16