Условие
Даны векторы a=(1; 2) и b=(1; 0). Найдите положительное значение t, при котором |a+t·b|²=20.
Подсказка
Раскройте квадрат длины: |a+t·b|²=|a|²+2t(a·b)+t²|b|², где a·b=1, |b|²=1.
Решите полученное квадратное уравнение и выберите только положительный корень; им является t=3.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Не теряем случаи
После разложения на множители или введения замены рассматриваем каждую ветвь отдельно. Учитываем ограничения для новой переменной и возвращаемся к исходной. Если требуется число различных корней, совпавшие корни учитываем один раз.
- Намечаем ход решения
Раскройте квадрат длины: |a+t·b|²=|a|²+2t(a·b)+t²|b|², где a·b=1, |b|²=1. Решите полученное квадратное уравнение и выберите только положительный корень; им является t=3.
- Выполняем преобразование
|a+t·b|²=5+2·(1)t+1t²=20, то есть 1t²+2t−15=0.
- Выполняем преобразование
Корни этого уравнения имеют разные знаки; положительный корень t=3. Подстановка даёт a+t·b=(4; 2) и квадрат длины 20.
Ответ: 3