Условие
Радиус основания конуса равен 6, высота конуса равна 8. В конус вписан шар: он касается основания и боковой поверхности конуса. Найдите радиус шара.
Подсказка
Рассмотрите осевое сечение: шар превращается в круг, вписанный в равнобедренный треугольник.
Радиус вписанной окружности равен площади, делённой на полупериметр.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Переходим к осевому сечению
Проведём плоскость через ось конуса. В сечении конуса — равнобедренный треугольник с основанием 2r и высотой h, в сечении шара — большой круг, вписанный в этот треугольник. Значит, радиус шара равен радиусу окружности, вписанной в треугольник.
- Находим стороны треугольника
Основание 2·6=12. Боковая сторона — образующая: l=√(6²+8²)=√100=10. Стороны треугольника: 10, 10, 12.
- Находим площадь и полупериметр
S=(1/2)·12·8=48; p=(10+10+12):2=16.
- Находим радиус вписанной окружности
Из формулы S=p·ρ: ρ=S:p=48:16=3. Это и есть радиус шара.
- Проверяем через подобие
Центр шара лежит на высоте на расстоянии ρ от основания, до вершины — 8−ρ. Отношение радиуса к расстоянию до вершины равно синусу угла между высотой и образующей: 6/10. 3:(8−3)=3:5=0,6=6/10 — верно.
Ответ: 3