Условие
В тетраэдре DABC рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, DA=DB=6, DC=12. Найдите расстояние от точки D до плоскости ABC.
Подсказка
Объём тетраэдра можно посчитать двумя способами: с основанием DAB и с основанием ABC.
Треугольник ABC равнобедренный: AC=BC.
Искомое расстояние — высота тетраэдра, опущенная из D на грань ABC.
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Считаем объём через удобное основание
DC перпендикулярна DA и DB, значит, перпендикулярна плоскости DAB и служит высотой к грани DAB. Грань DAB — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 6: S=½·6·6=18. V=(1/3)·18·12=72.
- Находим стороны грани ABC
По теореме Пифагора AB=√(6²+6²)=√72=6√2, AC=BC=√(6²+12²)=√180. Треугольник ABC равнобедренный с основанием AB.
- Находим площадь грани ABC
Медиана CM равнобедренного треугольника является высотой: CM²=AC²−AM²=180−18=162, CM=9√2. S(ABC)=½·AB·CM=½·6√2·9√2=54.
- Записываем объём ещё раз и находим расстояние
Теперь основание — ABC, а высота — искомое расстояние d=DH: V=(1/3)·S(ABC)·d. d=3V/S(ABC)=3·72/54=4.
- Проверяем через треугольник DMC
DM — медиана прямоугольного треугольника DAB, проведённая к гипотенузе, DM=AB/2=3√2. DC⊥DM, и точка H лежит на CM, поэтому DH — высота прямоугольного треугольника DMC: DH=(DM·DC)/CM=(3√2·12)/(9√2)=4 — ответ совпал.
Ответ: 4