Условие
Около правильной треугольной призмы описан цилиндр: основания призмы вписаны в основания цилиндра. Сторона основания призмы равна 3√3, высота призмы равна 5. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, делённую на π.
Подсказка
Высоты цилиндра и призмы равны, а основание призмы вписано в круг основания цилиндра.
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной a, равен a/√3.
Показать ответ
30
Пошаговое решение
- Понимаем, как связаны тела
Высота цилиндра равна высоте призмы: h=5. Основание призмы — правильный треугольник, вписанный в круг основания цилиндра, поэтому радиус цилиндра R — радиус описанной окружности этого треугольника.
- Вспоминаем формулу радиуса
Для правильного треугольника со стороной a радиус описанной окружности R=a/√3 (это 2/3 высоты треугольника a√3/2: (2/3)·a√3/2=a√3/3=a/√3).
- Находим радиус цилиндра
R=3√3/√3=3. Проверка через высоту треугольника: 3√3·√3/2=4,5, две трети от неё — 3.
- Вычисляем боковую поверхность
S бок=2πRh=2π·3·5=30π, значит S/π=30. Ошибка — взять радиус вписанной окружности a/(2√3): вершины треугольника лежат на окружности основания, значит, нужна описанная.
Ответ: 30