Условие
Плоскость пересекает шар по кругу радиуса 12 и отсекает от шара меньшую часть — шаровой сегмент. Высота сегмента (наибольшее расстояние от точек этой части шара до секущей плоскости) равна 8. Найдите радиус шара.
Подсказка
Соедините центр шара с центром сечения и с точкой окружности сечения — получится прямоугольный треугольник.
Расстояние от центра до плоскости вместе с высотой сегмента составляет радиус шара.
Показать ответ
13
Пошаговое решение
- Строим прямоугольный треугольник
Пусть O — центр шара, O₁ — центр круга сечения, A — точка окружности сечения. Отрезок OO₁ перпендикулярен плоскости сечения, поэтому треугольник OO₁A прямоугольный: катеты OO₁=d и O₁A — радиус сечения, гипотенуза OA=R.
- Выражаем расстояние d через R
Высота сегмента идёт по той же прямой OO₁ от плоскости до поверхности шара и вместе с d составляет радиус: d+8=R, то есть d=R−8.
- Составляем уравнение по теореме Пифагора
R²=d²+12², то есть R²=(R−8)²+144. Раскрываем скобки: R²=R²−16R+64+144.
- Решаем уравнение
R² сокращается: 16R=64+144=208, R=208:16=13.
- Проверяем
d=13−8=5; 5²+12²=25+144=169=13². Верно. Ошибка — принять высоту сегмента за расстояние от центра до плоскости: это разные отрезки.
Ответ: 13