Условие
Угол при вершине осевого сечения прямого кругового конуса равен 60°, высота конуса равна 6√3. Найдите площадь боковой поверхности конуса, делённую на π.
Подсказка
Высота конуса делит осевое сечение на два прямоугольных треугольника с углом 30° при вершине.
Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы; боковая поверхность — πrl.
Показать ответ
72
Пошаговое решение
- Рассматриваем осевое сечение
Осевое сечение — равнобедренный треугольник: боковые стороны — образующие l, основание — диаметр 2r, высота конуса делит его на два равных прямоугольных треугольника с катетами h и r и гипотенузой l.
- Находим углы прямоугольного треугольника
Высота равнобедренного треугольника — биссектриса угла при вершине, поэтому угол между высотой и образующей равен 60°:2=30°. Катет r лежит против угла 30°, значит, он равен половине гипотенузы: l=2r.
- Находим радиус и образующую
По теореме Пифагора h²=l²−r²=4r²−r²=3r², то есть h=r√3. Так как h=6√3, получаем r=6, l=2·6=12. (Иначе: при угле 60° осевое сечение — равносторонний треугольник со стороной l.)
- Вычисляем боковую поверхность
S бок=πrl=π·6·12=72π, значит S/π=72. Ошибка — подставить в формулу высоту вместо образующей: в πrl стоит именно образующая l.
Ответ: 72