Условие
Объём пирамиды равен 54. Через точку, делящую высоту пирамиды в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём части пирамиды, заключённой между этой плоскостью и основанием.
Подсказка
Отсечённая сверху пирамида подобна исходной. Каков коэффициент подобия?
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.
Нижняя часть — это исходная пирамида без отсечённой.
Показать ответ
52
Пошаговое решение
- Замечаем подобные пирамиды
Плоскость, параллельная основанию, отсекает от пирамиды меньшую пирамиду с той же вершиной, подобную исходной. Все её линейные размеры (высота, рёбра, стороны основания) составляют одну и ту же долю от исходных: коэффициент подобия k=1/(1+2)=1/3.
- Отношение объёмов подобных тел
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия: k³=(1/3)³=1/27. Площадь сечения при этом составляет k²=1/9 площади основания.
- Находим объём отсечённой пирамиды
Объём меньшей пирамиды V₁=54·(1/27)=2. Её основание — сечение, вершина — вершина исходной пирамиды.
- Находим объём нижней части
Нижняя часть — усечённая пирамида: 54−2=52. Типичные ошибки — взять k=1/2 (это отношение частей, а не части к целому) или умножить на k² вместо k³.
Ответ: 52