Условие
Боковую поверхность прямого кругового конуса разрезали по образующей и развернули на плоскость. Получился круговой сектор радиуса 9 с центральным углом 120°. Найдите площадь полной поверхности конуса, делённую на π.
Подсказка
Радиус сектора равен образующей конуса, а длина дуги сектора — длине окружности основания.
Площадь сектора — это боковая поверхность; не забудьте прибавить площадь основания πr².
Показать ответ
36
Пошаговое решение
- Связываем сектор с конусом
Радиус сектора — это образующая конуса: l=9. Дуга сектора при развёртке была окружностью основания, поэтому длина дуги равна 2πr, где r — радиус основания.
- Находим радиус основания
Угол 120° составляет 120/360=1/3 полного круга, поэтому длина дуги равна (1/3)·2π·9=6π. Из 2πr=6π получаем r=3.
- Находим боковую поверхность
Боковая поверхность — это площадь сектора: (1/3)·π·9²=27π. По формуле πrl получается то же: π·3·9=27π.
- Добавляем основание
S полн=πrl+πr²=27π+π·3²=27π+9π=36π, значит S/π=36. Ошибка — принять радиус сектора 9 за радиус основания конуса: радиус сектора — это образующая.
Ответ: 36