Условие
Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник ABC с катетами CA=6 и CB=8. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите объём пирамиды.
Подсказка
Если все боковые грани наклонены одинаково, вершина проектируется в центр вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника равен (a+b−c)/2.
При угле 45° высота пирамиды равна радиусу вписанной окружности.
Показать ответ
16
Пошаговое решение
- Определяем, куда падает высота
Пусть SO — высота, OK — перпендикуляр к стороне AB. По теореме о трёх перпендикулярах SK⊥AB, значит, ∠SKO — угол наклона грани SAB, он равен 45°. Прямоугольные треугольники SOK для всех трёх граней равны (общий катет SO и равные острые углы), поэтому точка O равноудалена от сторон основания и лежит внутри него: O — центр вписанной окружности, OK=r.
- Находим радиус вписанной окружности
Гипотенуза AB=√(6²+8²)=10. Площадь основания ½·6·8=24, полупериметр (6+8+10)/2=12, r=S/p=24/12=2. Для прямоугольного треугольника то же даёт формула r=(a+b−c)/2=(6+8−10)/2=2.
- Находим высоту
В треугольнике SOK угол K равен 45°, поэтому он равнобедренный: SO=OK·tg45°=2·1=2.
- Считаем объём
V=(1/3)·S·SO=(1/3)·24·2=16. Ошибка — опускать высоту в середину гипотенузы (центр описанной окружности): так бывает, когда равны боковые рёбра, а не углы наклона граней.
Ответ: 16