Условие
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD высота SO равна 12, AB=10. Найдите тангенс угла между боковой гранью SAB и плоскостью основания.
Подсказка
Линейный угол двугранного угла строится из двух перпендикуляров к общему ребру AB.
Соедините S и O с серединой M стороны AB.
Тангенс ищите в прямоугольном треугольнике SOM.
Показать ответ
2,4
Пошаговое решение
- Строим линейный угол двугранного угла
Пусть M — середина AB. Треугольник SAB равнобедренный (SA=SB), поэтому его медиана SM является высотой: SM⊥AB. Отрезок OM соединяет центр квадрата с серединой стороны, он параллелен AD и тоже перпендикулярен AB. Две перпендикулярные к ребру AB прямые в двух гранях дают линейный угол ∠SMO.
- Находим OM
OM равен половине стороны квадрата: 10:2=5.
- Считаем тангенс в прямоугольном треугольнике SOM
SO — высота пирамиды, поэтому SO⊥OM. Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: tg∠SMO=SO/OM=12/5=2,4.
- Проверяем ход решения
Апофема SM=√(12²+5²)=√169=13, и cos∠SMO=5/13, sin∠SMO=12/13; их отношение снова 2,4. Ошибка — брать в знаменателе половину диагонали OA: угол SAO — это угол бокового ребра, а не грани.
Ответ: 2,4