Условие
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 12. Найдите длину отрезка BE₁.
Подсказка
Спроецируйте точку E₁ на плоскость основания и рассмотрите прямоугольный треугольник.
На какие треугольники делят правильный шестиугольник его большие диагонали?
Показать ответ
20
Пошаговое решение
- Сводим задачу к прямоугольному треугольнику
Боковое ребро EE₁ перпендикулярно плоскости основания, поэтому треугольник BEE₁ прямоугольный с прямым углом E. Катеты — диагональ основания BE и боковое ребро EE₁, гипотенуза — искомый BE₁.
- Находим большую диагональ шестиугольника
Большие диагонали делят правильный шестиугольник на шесть правильных треугольников со стороной 8. Диагональ BE проходит через центр O: BE=BO+OE=8+8=16.
- Применяем теорему Пифагора
BE₁²=BE²+EE₁²=16²+12²=256+144=400, BE₁=20.
- Проверяем выбор диагонали
Вершины B и E противоположные, поэтому BE — большая диагональ, равная удвоенной стороне. Типичная ошибка — взять меньшую диагональ 8√3 (это BD) или считать BE равной стороне 8.
Ответ: 20