Условие
Объём правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ равен 60. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, D, E, A₁, B₁, D₁, E₁.
Подсказка
Многогранник ABDEA₁B₁D₁E₁ — тоже призма, и её высота такая же.
Сравните треугольник BCD с одним из шести правильных треугольников, на которые делится шестиугольник.
Показать ответ
40
Пошаговое решение
- Понимаем, что это за многогранник
Четырёхугольник ABDE лежит в нижнем основании, A₁B₁D₁E₁ — его копия в верхнем, соединённая боковыми рёбрами призмы. Значит, многогранник — прямая призма с основанием ABDE и той же высотой. У призм одной высоты объёмы относятся как площади оснований.
- Находим, какую часть шестиугольника отрезает диагональ BD
Треугольник BCD: BC=CD=a, угол C=120°, S(BCD)=½·a²·sin 120°. Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников площадью ½·a²·sin 60° каждый, а sin 120°=sin 60°. Значит, S(BCD) составляет 1/6 площади шестиугольника. Так же и треугольник EFA.
- Находим долю основания ABDE
S(ABDE)=S−(1/6)·S−(1/6)·S=(4/6)·S=(2/3)·S, где S — площадь шестиугольника.
- Считаем объём
V=60·(2/3)=40. Типичная ошибка — решить, что BD и AE отрезают по четверти шестиугольника или что ABDE — половина призмы.
Ответ: 40