Условие
Объём треугольной пирамиды SABC равен 24. Точки M и N — середины рёбер SA и SB, а точка K лежит на ребре SC так, что SK:KC=1:2. Найдите объём пирамиды SMNK.
Подсказка
Возьмите за основания треугольники SMN и SAB, лежащие в одной плоскости.
Площади треугольников с общим углом относятся как произведения сторон при этом угле.
Сравните расстояния от K и от C до плоскости SAB: какую часть ребра SC составляет SK?
Показать ответ
2
Пошаговое решение
- Смотрим на общий трёхгранный угол
У пирамид SMNK и SABC общая вершина S и общий трёхгранный угол при ней: точки M, N, K лежат на рёбрах SA, SB, SC. Удобно считать основанием грань, лежащую в плоскости SAB, а вершиной — точку на SC.
- Сравниваем площади оснований
Треугольники SMN и SAB имеют общий угол S, поэтому их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол: S(SMN)/S(SAB)=(SM/SA)·(SN/SB)=(1/2)·(1/2)=1/4.
- Сравниваем высоты
Высоты из K и из C на плоскость SAB лежат в одной плоскости с прямой SC и параллельны; по теореме о подобных треугольниках они относятся как SK:SC. Из SK:KC=1:2 следует SK:SC=1:3.
- Находим объём
V(SMNK)/V(SABC)=(1/4)·(1/3)=1/12, V(SMNK)=24:12=2. Ошибка — взять отношение SK:KC=1/2 вместо SK:SC=1/3: тогда получится 3.
Ответ: 2