Условие
Ребро куба равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются центры всех шести граней куба.
Подсказка
Центры четырёх боковых граней лежат в одной плоскости и образуют квадрат.
Многогранник состоит из двух пирамид с общим основанием — этим квадратом.
Диагональ среднего квадрата равна ребру куба.
Показать ответ
36
Пошаговое решение
- Понимаем, что это за многогранник
Центры четырёх боковых граней лежат в горизонтальной плоскости посередине высоты куба и образуют квадрат. Центры верхней и нижней граней лежат над и под центром этого квадрата. Значит, многогранник (октаэдр) составлен из двух одинаковых четырёхугольных пирамид с общим основанием — этим квадратом.
- Находим площадь среднего квадрата
Диагональ квадрата соединяет центры противоположных боковых граней, она равна ребру куба 6. Площадь квадрата равна половине произведения диагоналей: ½·6·6=18. (Или: сторона равна √(3²+3²)=√18, площадь 18.)
- Находим объём одной пирамиды
Вершина пирамиды — центр верхней грани, её высота — половина ребра: 6:2=3. V=(1/3)·18·3=18.
- Складываем две пирамиды
V=18+18=36. Это шестая часть объёма куба: 6³=216, 216:6=36. Ошибка — взять сторону среднего квадрата равной ребру куба 6: получится 72.
Ответ: 36