Условие
Через ребро CD куба ABCDA₁B₁C₁D₁ и середины M и N рёбер AA₁ и BB₁ проведена плоскость. Она делит куб на две части. Во сколько раз объём большей части больше объёма меньшей?
Подсказка
Какую форму имеет часть куба, содержащая ребро AB?
Найдите объём этой части как площадь треугольника AMD, умноженную на длину ребра AB.
Удобно обозначить ребро куба буквой a — оно сократится.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Строим сечение
MN — отрезок, соединяющий середины равных параллельных рёбер AA₁ и BB₁, поэтому MN ∥ AB ∥ CD. Значит, плоскость через CD и M проходит и через N, а сечение — прямоугольник MNCD.
- Определяем форму меньшей части
Часть куба, содержащая ребро AB, ограничена треугольниками AMD и BNC (в левой и правой гранях) и тремя прямоугольниками: ABNM, ABCD и сечением MNCD. Треугольники равны и лежат в параллельных плоскостях, ребро AB им перпендикулярно — это прямая треугольная призма с основанием AMD и боковым ребром AB.
- Находим объём меньшей части
Пусть ребро куба равно a. Треугольник AMD прямоугольный с прямым углом A, катеты AD=a и AM=½·a, поэтому S(AMD)=½·a·½·a=¼·a². Объём призмы S·AB=¼·a²·a=¼·a³, то есть четверть куба.
- Сравниваем части
Большая часть: a³−¼·a³=¾·a³. Отношение (¾·a³):(¼·a³)=3. Типичная ошибка — решить, что плоскость через середины рёбер делит куб пополам: пополам его делила бы плоскость через CD и A₁B₁.
Ответ: 3