Условие
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB=5, BC=6, CC₁=8. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и C₁.
Подсказка
Какое ребро параллелепипеда параллельно AB и проходит через точку C₁?
Стороны сечения — ребро AB и диагональ боковой грани BC₁.
Показать ответ
50
Пошаговое решение
- Строим сечение
Ребро C₁D₁ параллельно CD, а CD ∥ AB, значит, C₁D₁ ∥ AB. Через прямую AB и точку C₁ проходит единственная плоскость, и она содержит всю прямую C₁D₁, параллельную AB. Поэтому сечение — четырёхугольник ABC₁D₁.
- Определяем вид сечения
Стороны AB и D₁C₁ равны и параллельны, поэтому ABC₁D₁ — параллелограмм. Ребро AB перпендикулярно грани BB₁C₁C, значит, AB ⊥ BC₁, и параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.
- Находим сторону BC₁
BC₁ — диагональ боковой грани. В прямоугольном треугольнике BCC₁: BC₁²=6²+8²=36+64=100, BC₁=10.
- Находим площадь
S=AB·BC₁=5·10=50. Типичная ошибка — считать сечением треугольник ABC₁ и получить 25: плоскость пересекает параллелепипед по четырёхугольнику, а не по треугольнику.
Ответ: 50