Условие
Основание четырёхугольной пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD. Объём пирамиды равен 48. Точка M — середина ребра SC. Найдите объём треугольной пирамиды MABD.
Подсказка
Какую часть параллелограмма ABCD составляет треугольник ABD?
Во сколько раз точка M, середина SC, ближе к плоскости основания, чем вершина S?
Показать ответ
12
Пошаговое решение
- Сравниваем основания
Основание пирамиды MABD — треугольник ABD. Диагональ BD делит параллелограмм ABCD на два равных треугольника, поэтому S(ABD)=½·S(ABCD).
- Сравниваем высоты
Опустим перпендикуляры SH и MK на плоскость основания. Они параллельны и лежат в одной плоскости с прямой SC, поэтому треугольники CMK и CSH подобны с коэффициентом CM:CS=1:2. Значит, MK=½·SH: точка M вдвое ближе к основанию, чем вершина S.
- Находим объём
V(MABD)=(1/3)·S(ABD)·MK=(1/3)·(½·S(ABCD))·(½·SH)=¼·(1/3)·S(ABCD)·SH=¼·48=12.
- Проверяем себя
Уменьшились и основание (в 2 раза), и высота (в 2 раза), поэтому объём уменьшился в 2·2=4 раза. Ошибка — учесть только одно из уменьшений и получить 24.
Ответ: 12