ЕГЭ, задание 3: Стереометрия

Какие части параллелепипеда лежат вне пирамиды AB₁CD₁? Их четыре, и они одинаковые по объёму.

У угловой пирамиды при вершине три прямых угла: объём равен (1/3)·(ab/2)·c.

1. Смотрим, что остаётся от параллелепипеда

   Пирамида AB₁CD₁ получается, если отрезать от параллелепипеда четыре угловые пирамиды при вершинах B, D, A₁ и C₁: BAB₁C, DACD₁, A₁AB₁D₁ и C₁B₁CD₁. Все рёбра пирамиды AB₁CD₁ — диагонали граней.

2. Находим объём одной угловой пирамиды

   Обозначим рёбра параллелепипеда a, b, c, тогда abc=60. У пирамиды BAB₁C при вершине B три прямых угла: основание — прямоугольный треугольник ABC с площадью ab/2, высота BB₁=c (она перпендикулярна основанию). V=(1/3)·(ab/2)·c=abc/6=60/6=10. Остальные три угловые пирамиды такие же.

3. Вычитаем четыре угла

   V(AB₁CD₁)=60−4·10=60−40=20, то есть треть объёма параллелепипеда.

4. Проверяем себя

   Ответ не зависит от формы параллелепипеда: для рёбер 5, 3, 4 угловая пирамида имеет объём 5·3·4/6=10. Ошибка — отрезать только три угла или считать угловую пирамиду половиной призмы (abc/2 вместо abc/6).

Ответ: 20