Условие
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 6√3, а боковое ребро равно 10. Найдите высоту пирамиды.
Подсказка
Высота правильной пирамиды падает в центр основания — точку пересечения медиан.
Расстояние от центра правильного треугольника до его вершины равно 2/3 медианы.
Рассмотрите прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковым ребром и отрезком OA.
Показать ответ
8
Пошаговое решение
- Определяем, куда падает высота
У правильной пирамиды вершина S проектируется в центр O основания. Для правильного треугольника центр — точка пересечения медиан, она же центр описанной окружности. Поэтому OA — радиус описанной окружности основания.
- Находим медиану основания
Медиана (она же высота) правильного треугольника со стороной a равна a√3/2: 6√3·√3/2=18/2=9.
- Находим OA
Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому OA=(2/3)·9=6.
- Применяем теорему Пифагора в треугольнике SOA
SO перпендикулярна плоскости основания, значит, SO⊥OA и треугольник SOA прямоугольный с гипотенузой SA=10. SO²=SA²−OA²=10²−6²=100−36=64, SO=√64=8. Типичная ошибка — взять вместо OA радиус вписанной окружности 3: он ведёт к середине стороны, а не к вершине A.
Ответ: 8