Условие
Рёбра прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, выходящие из вершины A, таковы: AB=6, AD=8, AA₁=7. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми AA₁ и BD.
Подсказка
Прямая AA₁ перпендикулярна плоскости основания. Какой отрезок в основании перпендикулярен обеим прямым?
Высоту прямоугольного треугольника, проведённую к гипотенузе, удобно находить через площадь.
Показать ответ
4,8
Пошаговое решение
- Ищем общий перпендикуляр
Ребро AA₁ перпендикулярно плоскости основания ABCD, значит, перпендикулярно любой прямой этой плоскости. Проведём в основании AH ⊥ BD. Отрезок AH перпендикулярен и BD, и AA₁ и имеет концы на обеих прямых — это общий перпендикуляр, его длина и есть искомое расстояние.
- Находим диагональ BD
Треугольник ABD прямоугольный с прямым углом A. По теореме Пифагора BD²=6²+8²=36+64=100, BD=10.
- Находим высоту AH через площадь
Площадь треугольника ABD: S=½·AB·AD=½·6·8=24. С другой стороны, S=½·BD·AH, поэтому AH=2S:BD=2·24:10=4,8.
- Проверяем
Высота к гипотенузе меньше каждого катета: 4,8<6<8. Ребро AA₁=7 в вычислениях не нужно: расстояние не зависит от высоты параллелепипеда. Типичная ошибка — взять половину диагонали BD (5) — это расстояние от A до середины BD, а не до прямой.
Ответ: 4,8