Условие
В цилиндр вписан шар: шар касается обоих оснований и боковой поверхности цилиндра. Площадь поверхности шара равна 24. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Подсказка
Высота цилиндра, описанного около шара, равна диаметру шара, а радиус основания — радиусу шара.
Выразите обе площади через R и найдите, во сколько раз одна больше другой.
Показать ответ
36
Пошаговое решение
- Выражаем размеры цилиндра через радиус шара
Шар касается боковой поверхности, поэтому радиус основания цилиндра равен радиусу шара R. Шар касается обоих оснований, поэтому высота цилиндра равна диаметру шара: h=2R.
- Находим полную поверхность цилиндра через R
Полная поверхность — два круга-основания и боковая поверхность: S=2·πR²+2πR·h=2πR²+2πR·2R=2πR²+4πR²=6πR².
- Сравниваем с поверхностью шара
S шара=4πR². Отношение 6πR² : 4πR² = 3/2 не зависит от R, поэтому сам радиус искать не нужно. Это открытие Архимеда: боковая поверхность описанного цилиндра (4πR²) равна поверхности шара.
- Вычисляем
S цилиндра=24·3/2=24·3:2=36. Частая ошибка — забыть два основания и взять только боковую поверхность: она равна 24, как у шара.
Ответ: 36