Условие
Натуральное число n случайным образом выбирают из чисел от 1 до 40. Найдите вероятность того, что число 7ⁿ оканчивается цифрой 3.
Подсказка
Выпишите последние цифры чисел 7¹, 7², 7³, … — что вы замечаете?
Последние цифры степени повторяются по циклу; найдите его длину.
Показать ответ
0,25
Пошаговое решение
- Считаем все исходы
Выбирается одно из 40 чисел, все равновозможны: 40 исходов.
- Смотрим, как меняется последняя цифра степени
Последняя цифра произведения зависит только от последних цифр множителей. Поэтому умножаем только последние цифры: 7¹ → 7, 7² → 9, 7³ → 3, 7⁴ → 1. Дальше 7·1 снова оканчивается на 7, и последние цифры повторяются с периодом 4.
- Находим подходящие n
Цифра 3 стоит в цикле на 3-м месте, значит, подходят n=3, 7, 11, … — числа, дающие остаток 3 при делении на 4. Среди чисел от 1 до 40 их 40:4=10 (по одному в каждой четвёрке подряд идущих чисел).
- Находим вероятность
Благоприятных чисел 10 из 40 равновозможных, поэтому P=10/40=0,25.
Ответ: 0,25