Условие
Кодовый замок открывается комбинацией из трёх цифр (каждая от 0 до 9, цифры могут повторяться). Комбинацию задали случайным образом, все комбинации равновозможны. Найдите вероятность того, что все три цифры комбинации различны.
Подсказка
Сколько всего комбинаций из трёх цифр, если нули впереди разрешены?
Заполняйте позиции по очереди: сколько цифр доступно для каждой следующей?
Показать ответ
0,72
Пошаговое решение
- Считаем все комбинации
Каждую из трёх позиций можно заполнить 10 цифрами независимо от других: 10·10·10=1000 комбинаций (от 000 до 999).
- Считаем комбинации с различными цифрами
Первую цифру выбираем 10 способами, вторую — любой цифрой, кроме первой, 9 способами, третью — любой, кроме двух уже использованных, 8 способами: 10·9·8=720.
- Находим вероятность
Все 1000 комбинаций равновозможны, благоприятных 720, поэтому P=720/1000=0,72.
- Проверяем через противоположное событие
Хотя бы две одинаковые цифры: все три одинаковы — 10 комбинаций (000, 111, …, 999); ровно две одинаковы — 3 способа выбрать место «чужой» цифры, 10 вариантов для повторяющейся и 9 — для отличной: 3·10·9=270. Итого 10+270=280, и 1000−280=720.
Ответ: 0,72