Условие
Из шести вершин правильного шестиугольника ABCDEF случайным образом выбирают три различные вершины, все тройки вершин равновозможны. Найдите вероятность того, что ровно одна сторона треугольника с вершинами в выбранных точках является стороной шестиугольника.
Подсказка
Сколькими способами можно выбрать три вершины из шести, если порядок не важен?
Разбейте треугольники по числу общих сторон с шестиугольником: две, одна или ни одной.
Показать ответ
0,6
Пошаговое решение
- Считаем все тройки вершин
Первую вершину можно выбрать 6 способами, вторую — 5, третью — 4; каждая тройка при этом получена 3·2·1=6 раз (в разном порядке): 6·5·4:6=20 троек.
- Треугольники с двумя сторонами шестиугольника
Две стороны треугольника лежат на сторонах шестиугольника, если три вершины идут подряд: ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB — 6 треугольников. Все три стороны сразу быть сторонами шестиугольника не могут.
- Треугольники без общих сторон
Среди выбранных вершин нет ни одной пары соседних только у треугольников ACE и BDF (вершины через одну) — их 2.
- Считаем благоприятные тройки
У остальных треугольников ровно одна сторона шестиугольника: 20−6−2=12. Проверка прямым счётом: выбираем сторону шестиугольника (6 способов) и третью вершину, не соседнюю с её концами: 6−2−2=2 способа, всего 6·2=12.
- Находим вероятность
P=12/20=0,6. Типичная ошибка — засчитать тройки подряд идущих вершин: у них уже две общие стороны с шестиугольником, и они не подходят.
Ответ: 0,6