Условие
Редкое заболевание встречается у 1% населения. Анализ на это заболевание даёт положительный результат у больного с вероятностью 0,9, а у здорового — с вероятностью 0,1. Как у больного, так и у здорового результаты двух анализов независимы друг от друга. Человек сдал анализ дважды, и оба результата оказались положительными. Найдите вероятность того, что человек болен.
Подсказка
Нарисуйте дерево: болен или здоров, затем два анализа.
Нужна доля ветки «болен и оба анализа положительны» среди всех веток с двумя положительными результатами.
Показать ответ
0,45
Пошаговое решение
- Строим дерево
Первый уровень — болен (0,01) или здоров (0,99). Дальше — два анализа. Нас интересуют только ветки, где оба анализа положительны.
- Считаем ветку «болен, +, +»
Анализы независимы, поэтому вероятности перемножаем: 0,01·0,9·0,9=0,0081.
- Считаем ветку «здоров, +, +»
Здоровый дважды получает ложный положительный результат: 0,99·0,1·0,1=0,0099.
- Применяем формулу Байеса
P(болен | два «+»)=0,0081:(0,0081+0,0099)=0,0081:0,018=0,45.
- Сравниваем с одним анализом
После одного положительного анализа вероятность была бы всего 1/12: 0,009:(0,009+0,099). Повторный анализ сильно меняет картину, потому что ложный результат дважды подряд у здорового бывает редко.
Ответ: 0,45