Условие
Игральный кубик бросают один раз, а затем симметричную монету бросают столько раз, сколько очков выпало на кубике. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.
Подсказка
Разбейте на случаи по числу очков на кубике — это и есть число бросков монеты.
При фиксированном числе бросков k найдите вероятность ровно одного орла, затем примените формулу полной вероятности.
Показать ответ
0,3125
Пошаговое решение
- Выделяем гипотезы
Число бросков монеты заранее неизвестно — оно зависит от кубика. Гипотезы: на кубике выпало k очков, k=1, 2, …, 6; каждая имеет вероятность 1/6.
- Находим условную вероятность при k бросках
Если монету бросают k раз, единственный орёл может оказаться на любом из k мест, а каждая последовательность из k бросков имеет вероятность (1/2)ᵏ. Значит, P(ровно один орёл | k)=k·(1/2)ᵏ.
- Выписываем все шесть условных вероятностей
k=1: 1·(1/2)¹=1/2; k=2: 2·(1/2)²=1/2; k=3: 3·(1/2)³=3/8; k=4: 4·(1/2)⁴=1/4; k=5: 5·(1/2)⁵=5/32; k=6: 6·(1/2)⁶=3/32.
- Складываем их
Приводим к знаменателю 64: (32+32+24+16+10+6)/64=120/64=15/8.
- Применяем формулу полной вероятности
Все гипотезы имеют одинаковую вероятность 1/6, поэтому P=(1/6)·(15/8)=5/16=0,3125. Ошибка — забыть множитель 1/6 и получить число 15/8, большее 1.
Ответ: 0,3125