Условие
Чтобы выйти в финал турнира, хоккейной команде нужно набрать не менее 5 очков в трёх матчах. За победу команда получает 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. В каждом матче команда побеждает с вероятностью 0,5, играет вничью с вероятностью 0,3 и проигрывает с вероятностью 0,2; результаты матчей независимы. Найдите вероятность того, что команда выйдет в финал.
Подсказка
Выпишите, сколько побед и ничьих нужно, чтобы набрать не менее 5 очков.
Для каждого набора результатов учтите, в каком порядке могли идти матчи.
Показать ответ
0,635
Пошаговое решение
- Выясняем, какие наборы результатов дают не менее 5 очков
Пусть команда одержала w побед и сыграла вничью d раз, тогда у неё 3w+d очков. Три победы — 9 очков; две победы и ничья — 7; две победы и поражение — 6; одна победа и две ничьи — 5. Одна победа, ничья и поражение дают только 4 очка, а без побед больше 3 очков не набрать. Подходят четыре набора.
- Считаем три победы и две победы с ничьей
Три победы: 0,5³=0,125. Две победы и ничья: ничья может быть в первом, втором или третьем матче — 3 несовместных порядка, каждый с вероятностью 0,5·0,5·0,3=0,075; всего 3·0,075=0,225.
- Считаем два оставшихся набора
Две победы и поражение: 3·0,5·0,5·0,2=3·0,05=0,15. Одна победа и две ничьи (победа в одном из трёх матчей): 3·0,5·0,3·0,3=3·0,045=0,135.
- Складываем несовместные наборы
P=0,125+0,225+0,15+0,135=0,635. Частые ошибки: забыть набор «победа и две ничьи» (получится 0,5) или не умножить на 3 число порядков (получится 0,295).
Ответ: 0,635