Условие
Фишка стоит на клетке 0 полосы, клетки которой занумерованы числами 0, 1, 2, 3, 4, 5, … . Бросают симметричную монету: при выпадении орла фишка сдвигается на одну клетку вперёд, при выпадении решки — на две клетки вперёд. Монету бросают, пока фишка не встанет на клетку 4 или не перепрыгнет через неё. Найдите вероятность того, что фишка побывает на клетке 4.
Подсказка
На клетку 4 можно попасть только с клетки 3 или с клетки 2 — рассмотрите оба случая.
Найдите по очереди вероятности побывать на клетках 1, 2 и 3.
Показать ответ
0,6875
Пошаговое решение
- Составляем правило пересчёта
Обозначим Pₖ вероятность того, что фишка побывает на клетке k. На клетку k можно попасть только с клетки k−1 (орёл) или с клетки k−2 (решка). Эти случаи несовместны: прыгнув с k−2 на k, фишка клетку k−1 пропускает. Поэтому Pₖ=(1/2)·Pₖ₋₁+(1/2)·Pₖ₋₂, а P₀=1.
- Находим P₁ и P₂
На клетку 1 попадают только с клетки 0 при орле: P₁=(1/2)·1=1/2. P₂=(1/2)·(1/2)+(1/2)·1=1/4+1/2=3/4.
- Находим P₃ и P₄
P₃=(1/2)·(3/4)+(1/2)·(1/2)=3/8+1/4=5/8. P₄=(1/2)·(5/8)+(1/2)·(3/4)=5/16+3/8=11/16=0,6875.
- Проверяем через противоположное событие
Фишка минует клетку 4 только одним способом: стоит на клетке 3 и выпадает решка (прыжок на 5). Вероятность этого (5/8)·(1/2)=5/16, поэтому P₄=1−5/16=11/16 — тот же результат.
Ответ: 0,6875