Условие
Игральный кубик бросают до тех пор, пока не выпадет 5 или 6 очков. Найдите вероятность того, что число сделанных бросков окажется чётным.
Подсказка
Запишите вероятности того, что понадобится ровно 2, ровно 4, ровно 6 бросков.
Эти вероятности образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию — найдите её первый член и знаменатель.
Показать ответ
0,4
Пошаговое решение
- Находим вероятности одного броска
Успех — выпало 5 или 6: 2 исхода из 6, p=2/6=1/3. Неудача — выпало от 1 до 4: q=1−1/3=2/3.
- Записываем вероятность ровно k бросков
Бросков ровно k, если первые k−1 бросков неудачные, а k-й удачный: q^(k−1)·p. Чётное число бросков: 2, 4, 6, … . Вероятности: (2/3)·(1/3), (2/3)³·(1/3), (2/3)⁵·(1/3), …
- Суммируем геометрическую прогрессию
Первый член (2/3)·(1/3)=2/9, каждый следующий получается умножением на (2/3)²=4/9. Сумма бесконечно убывающей прогрессии: (2/9) : (1−4/9)=(2/9) : (5/9)=2/5=0,4.
- Проверяем через нечётное число бросков
Для нечётного числа первый член 1/3, знаменатель тот же: (1/3) : (5/9)=3/5. Сумма 2/5+3/5=1. Ошибка — считать чётное и нечётное число бросков равновероятными (ответ 0,5): уже первый бросок даёт нечётное число бросков с вероятностью 1/3.
Ответ: 0,4