Условие
В партии настольного тенниса счёт стал 10:10. По правилам теперь игра продолжается до тех пор, пока один из игроков не опередит соперника на два очка. Игрок А выигрывает каждое очко с вероятностью 0,75 независимо от остальных очков. Найдите вероятность того, что партию выиграет игрок А.
Подсказка
Посмотрите, чем могут закончиться два ближайших розыгрыша при равном счёте.
Если счёт снова стал равным, игра как будто начинается сначала — обозначьте искомую вероятность буквой и составьте уравнение.
Показать ответ
0,9
Пошаговое решение
- Смотрим на два ближайших розыгрыша
После одного очка партия закончиться не может: преимущество только в одно очко. Через два розыгрыша возможны три исхода. А выиграл оба: 0,75·0,75=0,5625 — победа А. А проиграл оба: 0,25·0,25=0,0625 — победа соперника. Очки разделились (АБ или БА): 2·0,75·0,25=0,375 — счёт снова равный.
- Составляем уравнение
Пусть P — искомая вероятность. Когда счёт снова равный, всё начинается заново, и шанс А опять равен P. Поэтому P=0,5625+0,375·P.
- Решаем уравнение
P−0,375·P=0,5625, 0,625·P=0,5625, P=0,5625 : 0,625=0,9.
- Проверяем
Точно так же вероятность победы соперника равна 0,0625 : 0,625=0,1, и 0,9+0,1=1: бесконечная партия имеет вероятность 0. Ошибка — ответить 0,5625, учтя только выигрыш двух очков подряд сразу после 10:10.
Ответ: 0,9