Условие
Робот стоит в точке O на прямой. Каждую секунду он делает шаг длиной 1 м: вправо с вероятностью 0,6 или влево с вероятностью 0,4, независимо от предыдущих шагов. Найдите вероятность того, что робот впервые вернётся в точку O ровно после четвёртого шага.
Подсказка
После какого числа шагов робот вообще может оказаться в точке O?
Выпишите пути из четырёх шагов, которые после второго шага ещё не привели робота в точку O.
Показать ответ
0,1152
Пошаговое решение
- Выясняем, когда робот может быть в O
Чтобы вернуться в O, шагов вправо и влево должно быть поровну, значит, общее число шагов чётное. Поэтому «впервые вернётся после четвёртого шага» означает: после второго шага робот не в O, а после четвёртого — в O.
- Перебираем подходящие пути
После двух шагов робот не в O, только если оба шага в одну сторону: ПП (точка +2) или ЛЛ (точка −2). Чтобы за два оставшихся шага вернуться, оба шага должны вести обратно. Подходят ровно два пути: ППЛЛ и ЛЛПП (П — вправо, Л — влево).
- Считаем вероятность каждого пути
Шаги независимы, вероятности перемножаем. ППЛЛ: 0,6·0,6·0,4·0,4=0,36·0,16=0,0576. ЛЛПП содержит те же множители в другом порядке: 0,0576.
- Складываем и разбираем ошибку
Пути несовместны: P=0,0576+0,0576=0,1152. Ошибка — взять все пути с двумя шагами вправо и двумя влево: C(4,2)=6 путей дают 6·0,0576=0,3456, но пути ПЛПЛ, ПЛЛП, ЛППЛ и ЛПЛП возвращаются в O уже после второго шага.
Ответ: 0,1152