Условие
Из отрезка [0; 1] случайным образом независимо выбирают два числа x и y. Найдите вероятность того, что эти числа отличаются меньше чем на 0,4, то есть |x − y| < 0,4. Каждую пару чисел (x; y) можно изобразить точкой квадрата со стороной 1 (см. рисунок); вероятность попадания точки в область квадрата равна площади этой области.
Подсказка
Запишите условие |x − y| < 0,4 в виде двойного неравенства для y.
Проще найти площадь части квадрата, где условие не выполняется: это два треугольника.
Показать ответ
0,64
Пошаговое решение
- Описываем область на рисунке
Неравенство |x − y| < 0,4 равносильно двойному неравенству x − 0,4 < y < x + 0,4. Значит, подходят точки квадрата между прямыми y = x − 0,4 и y = x + 0,4 — закрашенная полоса.
- Смотрим, что остаётся вне полосы
Вне полосы — два угловых прямоугольных треугольника: над прямой y = x + 0,4 (у вершины (0; 1)) и под прямой y = x − 0,4 (у вершины (1; 0)). Прямая y = x + 0,4 пересекает стороны квадрата в точках (0; 0,4) и (0,6; 1), поэтому катеты треугольника равны 1 − 0,4 = 0,6.
- Находим площадь треугольников
Площадь одного треугольника (0,6·0,6):2 = 0,18; двух — 2·0,18 = 0,36.
- Находим вероятность
Площадь квадрата равна 1, поэтому P = 1 − 0,36 = 0,64. Типичная ошибка — ответ 2·0,4 = 0,8: так было бы, если бы одно из чисел было фиксировано в середине отрезка, но у краёв отрезка отступать некуда.
Ответ: 0,64