Условие
Аня и Борис по очереди бросают мяч до первого попадания, начинает Аня. Вероятность попадания Ани 1/2, Бориса 2/3. Все броски независимы. Найдите вероятность победы Ани.
Подсказка
Аня сразу выигрывает с вероятностью 1/2. Если оба промахнулись, вероятность этого (1/2)·(1−2/3), и ситуация полностью повторяется.
Пусть P — искомая вероятность. Тогда P=1/2+(1/2)(1−2/3)P.
Показать ответ
0,6
Пошаговое решение
- Рассматриваем первый круг
Аня сразу выигрывает с вероятностью 1/2. Если оба промахнулись, вероятность этого (1/2)·(1−2/3), и ситуация полностью повторяется.
- Составляем уравнение
Пусть P — искомая вероятность. Тогда P=1/2+(1/2)(1−2/3)P.
- Решаем
P(1+2/3)/2=1/2, поэтому P=1/(1+2/3)=0,6.
- Учитываем завершение
Вероятность бесконечной череды общих промахов равна нулю: вероятность каждого нового полного круга меньше 1. Неучтённого исхода с положительной вероятностью нет.
Ответ: 0,6