ЕГЭ, задание 6: Уравнения

Выпишите две серии для аргумента: косинус принимает значение 1/2 в двух симметричных углах.

После возврата к x переберите k=0 и k=−1 в каждой серии и выберите наибольшее отрицательное число.

1. Решаем уравнение для аргумента

   Обозначим t=π(x−1)/3. Косинус равен 1/2 в углах π/3 и −π/3, поэтому t=π/3+2πk или t=−π/3+2πk, где k — целое число. Это две разные серии, отбор ведём в каждой.

2. Возвращаемся к x в первой серии

   π(x−1)/3=π/3+2πk. Умножаем обе части на 3/π: x−1=1+6k, откуда x=2+6k.

3. Возвращаемся к x во второй серии

   π(x−1)/3=−π/3+2πk. Умножаем на 3/π: x−1=−1+6k, откуда x=6k.

4. Ищем отрицательные корни рядом с нулём

   В серии x=2+6k при k=0 получаем 2>0, при k=−1 получаем 2−6=−4. В серии x=6k при k=0 получаем 0 — он не отрицателен, при k=−1 получаем −6. Меньшие k дают ещё меньшие числа.

5. Сравниваем кандидатов

   Из чисел −4 и −6 больше −4. Проверка: cos(π·(−4−1)/3)=cos(−5π/3)=cos(π/3)=1/2. Типичная ошибка — взять корень 0 из второй серии, но 0 не отрицательное число.

Ответ: -4