Условие
Решите уравнение 4sin²(πx/6)=3. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
Подсказка
Из sin²t=3/4 получаются два значения синуса — не теряйте отрицательное.
Отметьте на окружности все четыре точки: какие из них диаметрально противоположны?
Показать ответ
-2
Пошаговое решение
- Находим значения синуса
Делим на 4: sin²(πx/6)=3/4. Значит, sin(πx/6)=√3/2 или sin(πx/6)=−√3/2. Подходят оба значения, потому что оба лежат в отрезке [−1; 1].
- Отмечаем точки на окружности
Синус равен √3/2 в точках π/3 и 2π/3, а −√3/2 — в точках −π/3 и −2π/3. Точки π/3 и −2π/3 диаметрально противоположны, как и точки −π/3 и 2π/3. Поэтому четыре серии объединяются в две с периодом π: πx/6=π/3+πk или πx/6=−π/3+πk, k — целое.
- Выражаем x
Умножаем обе части на 6/π: x=2+6k или x=−2+6k. Проверка другим способом: по формуле cos 2α=1−2sin²α уравнение равносильно cos(πx/3)=1−2·(3/4)=−1/2, откуда πx/3=±2π/3+2πk, то есть те же x=±2+6k.
- Отбираем наибольший отрицательный корень
В серии x=2+6k: k=0 даёт 2>0, k=−1 даёт −4, меньшие k дают ещё меньшие числа. В серии x=−2+6k: k=0 даёт −2, k=1 даёт 4>0. Из чисел −4 и −2 больше −2.
- Проверяем
При x=−2: sin(−π/3)=−√3/2, 4·(−√3/2)²=4·(3/4)=3. Типичная ошибка — взять только sin(πx/6)=√3/2 и потерять отрицательное значение синуса.
Ответ: -2