Условие
При каком x выполняется равенство log_9(x+5)=log_3(x−1)?
Подсказка
Выразите log_9 через log_3: 9 — это квадрат тройки.
После возведения в квадрат проверьте знак x−1 для каждого корня.
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ
Оба аргумента положительны: x−1>0 и x+5>0. Вместе это x>1.
- Переходим к основанию 3
9=3², поэтому log_9(x+5)=(1/2)·log_3(x+5). Умножаем обе части на 2: 2·log_3(x−1)=log_3(x+5).
- Вносим множитель 2 в логарифм
При x−1>0 верно 2·log_3(x−1)=log_3((x−1)²). Получаем log_3((x−1)²)=log_3(x+5), откуда (x−1)²=x+5, то есть x²−3x−4=0.
- Решаем квадратное уравнение
D=3²+4·4=25=5². x=(3±5)/2: x=4 или x=−1.
- Отбираем корни
x=−1: x−1=−2<0, log_3(−2) не существует — корень посторонний, хотя (x−1)²=4=x+5. x=4: log_3(3)=1 и log_9(9)=1, корень подходит.
Ответ: 4