Условие
Решите уравнение cos(πx)=x²+4x+5.
Подсказка
Выделите в правой части полный квадрат.
Какое наибольшее значение может принимать косинус?
Показать ответ
-2
Пошаговое решение
- Понимаем, почему обычные приёмы не работают
Слева тригонометрическая функция, справа квадратный трёхчлен — привести уравнение к простейшему нельзя. Оценим, какие значения могут принимать обе части.
- Оцениваем правую часть
Выделим полный квадрат: x²+4x+5=(x²+4x+4)+1=(x+2)²+1. Так как (x+2)²≥0, правая часть не меньше 1.
- Оцениваем левую часть
Косинус любого числа не больше 1: cos(πx)≤1.
- Составляем систему
Число, которое не больше 1, равно числу, которое не меньше 1, только если оба равны 1. Значит, (x+2)²+1=1 и cos(πx)=1. Из первого уравнения (x+2)²=0, x=−2.
- Проверяем второе условие
При x=−2: cos(−2π)=1, а правая часть (−2+2)²+1=1. Равенство выполнено, других корней нет. Если бы косинус в этой точке не был равен 1, уравнение не имело бы корней.
Ответ: -2