Условие
Найдите наименьший положительный корень уравнения tg(π(x+5)/4)=−1.
Подсказка
Тангенс имеет период π, поэтому для аргумента получается одна серия.
Выразите x через k и подставляйте k=0, 1, … до первого положительного значения.
Показать ответ
2
Пошаговое решение
- Решаем уравнение для аргумента
Тангенс равен −1 при угле −π/4, а период тангенса равен π. Поэтому π(x+5)/4=−π/4+πk, k — целое. Здесь одна серия, в отличие от синуса и косинуса, где серий две.
- Выражаем x
Умножаем обе части на 4/π: x+5=−1+4k, откуда x=−6+4k. Соседние корни отличаются на 4.
- Перебираем k
k=0: x=−6; k=1: x=−6+4=−2; k=2: x=−6+8=2. Первые два значения отрицательны, третье положительно, а при больших k корни только растут.
- Проверяем
При x=2 аргумент равен π·(2+5)/4=7π/4, tg(7π/4)=tg(−π/4)=−1. Ошибка — записать серию с периодом 2π и пропустить часть корней.
Ответ: 2