ЕГЭ, задание 6: Уравнения

Запишите равенство без логарифма: аргумент равен основанию в степени x+1.

Представьте 3^(x+1) как 3·3^x и соберите слагаемые с 3^x.

1. Записываем ОДЗ

   Аргумент 3^x+18 положителен при любом x, потому что 3^x>0. Ограничений на x нет.

2. Переходим к степени по определению логарифма

   log_3(3^x+18)=x+1 означает 3^x+18=3^(x+1). Здесь значение логарифма x+1 само содержит x — это нормально, определение работает так же.

3. Раскладываем степень справа

   3^(x+1)=3·3^x. Уравнение: 3^x+18=3·3^x. Переносим 3^x вправо: 18=3·3^x−3^x=2·3^x.

4. Находим x

   3^x=18:2=9=3^2, поэтому x=2.

5. Проверяем

   При x=2: 3^2+18=9+18=27=3^3, значит log_3(27)=3=x+1. Корень подходит.

Ответ: 2