Условие
Решите уравнение 2^(log_2(x²−8))=2x.
Подсказка
Тождество a^(log_a b)=b верно только при b>0.
Получив квадратное уравнение, проверьте для каждого корня знак выражения под логарифмом.
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ
Логарифм log_2(x²−8) существует только при x²−8>0. Без этого условия левая часть не определена.
- Применяем основное логарифмическое тождество
a^(log_a(b))=b при b>0. Поэтому на ОДЗ левая часть равна x²−8, и уравнение принимает вид x²−8=2x, то есть x²−2x−8=0.
- Решаем квадратное уравнение
D=2²+4·8=36=6². x=(2±6)/2: x=4 или x=−2.
- Проверяем x=−2
x²−8=4−8=−4<0, логарифм не существует. Равенство x²−8=2x (−4=−4) выполняется, но исходное уравнение при x=−2 не имеет смысла — корень посторонний.
- Проверяем x=4
x²−8=8>0, левая часть 2^(log_2(8))=8, правая 2·4=8. Корень подходит.
Ответ: 4