ЕГЭ, задание 6: Уравнения

Выразите два других логарифма через log_2(x) по формуле log_(aᵏ)(x)=(1/k)·log_a(x).

После перехода к одному основанию получится линейное уравнение относительно log_2(x).

1. Записываем ОДЗ

   Все три логарифма определены при x>0.

2. Переходим к основанию 2

   4=2² и 16=2⁴. По формуле log_(aᵏ)(x)=(1/k)·log_a(x) получаем log_4(x)=(1/2)·log_2(x) и log_16(x)=(1/4)·log_2(x).

3. Складываем подобные

   Пусть t=log_2(x). Тогда t+(1/2)t+(1/4)t=(7/4)t, и уравнение принимает вид (7/4)t=7.

4. Находим логарифм и x

   t=7 : (7/4)=7·(4/7)=4. log_2(x)=4, значит x=2^4=16.

5. Проверяем

   log_2(16)=4, log_4(16)=2 (4²=16), log_16(16)=1. Сумма 4+2+1=7, x=16>0 — корень подходит.

Ответ: 16